Operaciones en Q
Los números racionales, su símbolo es Q, y es el conjunto de los números enteros y los fraccionarios. que se pueden expresar como cocientes exactos.
Ejemplo:1/3 (=0,333...) y 1/4 (=0,25) Son racionales.
La raíz cuadrada de 2 (=1,4142136..) no es racional
Una ecuación en el conjunto de los números racionales contiene fracciones positivas o negativas o bien números decimales. También pueden participar números enteros que se pueden transformar en fracciones simplemente dividiéndolas por 1
Ejemplo:
-3 = -3/1
La idea de resolver una ecuación, es encontrar la incógnita "x" para que la igualdad sea verdadera.E
Debe tenerse presente que si los denominadores son diferentes deben igualarse, tal como se hace cuando se suman o restan fracciones, sacando el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M)
Ejemplo:
En esta ecuación los denominadores son diferentes (4, 2 y 3), por lo tanto, deben igualarse para poder realizar las operaciones de suma o resta. Para lograr esto se busca el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M)
El mínimo común múltiplo entre dos o más números corresponde al número más pequeño divisible por cada uno de los denominadores que se dan.
El mínimo común múltiplo entre dos o más números corresponde al número más pequeño divisible por cada uno de los denominadores que se dan.
Existen varios métodos para encontrarlo, pero uno de los más fáciles y rápidos es el de la tabla de números primos. En ella se anotan todos los denominadores de las fracciones que se desean sumar o restar y se dividen todos ellos por números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc.
Estas operaciones se terminan hasta que todos los números terminan en 1, luego se multiplican los números primos que aparece más veces y que se obtuvieron al dividir los denominadores.
Un número primo es el que tiene como factores el 1 y el mismo número.
Ejemplo: el 2 es número primo porque los únicos números que al multiplicarse dan 2, son el 1 y el 2. (2 x 1 = 2)
/ m.c.m = 12
Ahora se debe ver cuántas veces cabe cada denominador de las fracciones de la ecuación en el mínimo común múltiplo (m.c.m) hallado mediante la tabla de factores primos (12); el resultado de cada uno de ellos se debe multiplicar por el numerador respectivo. Concretamente, el denominador 4 de la fracción 3 / 4 cabe en el 12 tres veces, ahora se debe multiplicar el numerador (que es 3) por 3, y así sucesivamente.
Multiplicación:
Pasos para multiplicar números racionales:
1. Obtenemos el numerador por el producto de los numeradores.
2. Obtenemos el denominador por el producto de los denominadores
Ejemplo:
Propiedad Conmutativa:
El orden de los factores no varía el producto.
(a . b = b . a)
Ejemplo:
Propiedad Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía el resultado.
(a . b) . c = a . (b . c)
Ejemplo:
Elemento Inverso:
Un número es inverso de otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.
Ejemplo:
Propiedad Distributiva:
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.
Ejemplo:
Sacar Factor Común:
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
Ejemplo:
División:
La división de dos números racionales es otro número racional que tiene:
1. Por numerador el producto de los extremos
2. Por denominador el producto de los medios
También podemos definir la división de dos números racionales como producto del primero por el inverso del segundo.
Suma:
Interna:
El resultado de sumar dos números racionales es otro número racional.
Ejemplo:
Asociativa:
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
Ejemplos:
Conmutativa:
El orden de los sumandos no varía la suma.
Ejemplo:
Elemento Neutro:
El 0 es el elemento neutro de la suma, porque todo número sumado con él da el mismo número.
Ejemplo:
Elemento Opuesto:
Dos números son opuestos si al sumarlos obtendremos como resultado el cero.
a + b = 0
El opuesto de un número a en la suma se denota como -a
Ejemplo:
El opuesto de un número es igual al mismo número.
Ejemplo:
Como consecuencia de estas propiedades, la diferencia de dos números racionales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.
Ejemplo:
Resta:
Con el Mismo denominador:
Se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
Ejemplo:
Con diferente denominador:
1. Se reducen los denominadores a común denominador:
a. Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores
b. Este denominador común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.
2. Se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
Ejemplo:
m.c.m (4,6) = 12
También podemos definir la resta o diferencia de dos números racionales como la suma del minuendo más el opuesto del sutraendo.
Simplificación de fracciones:
La simplificación de una fracción consiste en transformarla en una fracción equivalente más simple.
En la simplificación de fracciones se divide numerador y denominador por un mismo número.
Se empieza a simplificar probando por los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, ... Es decir, probamos a dividir numerador y denominador entre 2 mientras se pueda, después pasamos al 3 y así sucesivamete.
Se repite el proceso hasta que no haya más divisores comunes.
Si los términos de la fracción terminan en ceros, empezaremos quitando los ceros comunes finales del numerador y denominador.
Si el número por el que dividimos es el máximo común denominador del numerador y denominador llegamos a una fracción irreducible.
m.c.d (8,36) = 4
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